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媒體報(bào)道邵博士科研隨筆來(lái)自于賽思億內(nèi)部學(xué)習(xí)資料，主要是邵博士給技術(shù)人員有關(guān)技術(shù)基礎(chǔ)的培訓(xùn)資料，挑選有代表性的發(fā)布，與業(yè)內(nèi)的朋友共享。
傅里葉的那些事兒
“懂與不懂，都是收獲”
背 景 介 紹
拉普拉斯變換和傅里葉變換是所有學(xué)習(xí)電氣工程的同學(xué)心中永遠(yuǎn)的痛，因?yàn)槠涓采w的課程包括且不限于“基本電路理論”、“積分變換”、“自動(dòng)控制原理”和“信號(hào)與系統(tǒng)”等。就邵博士個(gè)人而言，當(dāng)時(shí)的學(xué)習(xí)有2個(gè)很直觀的感覺(jué)，一來(lái)在學(xué)習(xí)過(guò)程中，完全陷入了拉普拉斯和傅里葉變換的數(shù)學(xué)公式的記憶和運(yùn)算中了，二來(lái)根本搞不清這兩貨的區(qū)別是什么，感覺(jué)就是拉普拉斯更加高級(jí)一些而已。
作為一種經(jīng)驗(yàn)的提煉，或者說(shuō)僅僅作為一本學(xué)習(xí)筆記，本文檔總結(jié)一下傅里葉變化對(duì)于賽思億的工作中的一些作用。需要說(shuō)明的是，本文檔的觀點(diǎn)都是邵博士個(gè)人觀點(diǎn)，并不說(shuō)明這些觀點(diǎn)都是正確的。
什么是傅里葉級(jí)數(shù)
雖然大家喜歡說(shuō)傅里葉變換，但是意義更為明顯的是傅里葉級(jí)數(shù)，也稱(chēng)為FS（Fourier series）。傅里葉用數(shù)學(xué)的方式，告訴我們?nèi)魏沃芷诤瘮?shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，及其頻率倍數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示。
考慮到：
那么再簡(jiǎn)單一些，傅里葉級(jí)數(shù)告訴我們?nèi)魏沃芷诤瘮?shù)都可以用某一頻率的余弦函數(shù)及其頻率倍數(shù)的余弦函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示。
換一種語(yǔ)言說(shuō)，傅里葉級(jí)數(shù)告訴我們，一個(gè)周期函數(shù)，由一系列的Acos(nωt+θ)組成，其中：
1、A是這一頻率的余弦函數(shù)的幅值；
2、n = 0, 1, 2……；
3、ω是這個(gè)余弦函數(shù)的頻率；
4、θ是這個(gè)余弦函數(shù)的相位；
進(jìn)一步，特別考察n：
1、當(dāng)n = 0時(shí)，這個(gè)余弦函數(shù)體現(xiàn)的是直流分量；
2、當(dāng)n = 1時(shí)，這個(gè)余弦函數(shù)體現(xiàn)的是基波分量，往往是有用的值；
3、當(dāng)n > 1時(shí)，這個(gè)余弦函數(shù)體現(xiàn)的是諧波分量；
所以用人話來(lái)說(shuō)，傅里葉級(jí)數(shù)告訴我們：任何周期函數(shù)，都是由直流分量、單獨(dú)的基波分量和大量的諧波分量組成。
傅里葉變換是傅里葉級(jí)數(shù)的一種特殊數(shù)學(xué)變換，是針對(duì)非周期函數(shù)而言的。本文檔不做展開(kāi)。
什么是頻域
傅里葉級(jí)數(shù)比拉普拉斯高級(jí)得多的地方，在于傅里葉級(jí)數(shù)不僅僅是一種數(shù)學(xué)變換，而是創(chuàng)造了一種哲學(xué)，構(gòu)筑了一個(gè)從另外一種視角審視信號(hào)的方法，那就是：頻域！
圖表 1 時(shí)域和頻域
從“知乎”上找到了一個(gè)很直觀的圖，見(jiàn)圖表1，來(lái)說(shuō)明一下同一種信號(hào)，可以從兩個(gè)維度來(lái)理解，分別是時(shí)域和頻域。
從時(shí)域上來(lái)說(shuō)，任何信號(hào)隨著時(shí)間t變化的幅度效果，能體現(xiàn)出他的性質(zhì)；或者呢，將任何周期信號(hào)拆解成大量周期性變化的函數(shù)的疊加也是一種思路，這些周期的倒數(shù)就是頻率，這樣周期信號(hào)變成了大量頻率的疊加。
頻域提供了一個(gè)很新穎的理解事物的角度。例如：時(shí)域上一個(gè)模糊不清的“馬鞍形”信號(hào)，可能在頻域里面看到，是清晰的基波和三次諧波的疊加。
頻域非常高明，已經(jīng)深入人心。頻域分析已經(jīng)是一種哲學(xué)，一種信仰的存在了。
讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉 Baron Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 ~ 1830
傅里葉是法國(guó)人，也曾跟著拿破侖混過(guò)。他最早將他的理論應(yīng)用于熱傳導(dǎo)上面，結(jié)果在將論文遞交給巴黎科學(xué)院的時(shí)候，被拒了。拒掉他的那些大牛中，就有一個(gè)叫拉普拉斯的。從這件事情上，我們可以得出：
1、18到19世紀(jì)的法國(guó)，是多么的燦爛輝煌。
2、法國(guó)人對(duì)法國(guó)人自己，也真是不客氣。
3、即便論文被拒，即便理論不能被世界上大多數(shù)人所認(rèn)可，這些并無(wú)損于傅里葉的偉大。
海因里希?魯?shù)婪?赫茲 Heinrich Rudolf Hertz 1857~1894
時(shí)域用時(shí)間來(lái)描述，其基本單位是s，而頻域用頻率（或者角頻率）來(lái)描述，其基本單位是Hz。說(shuō)到Hz，必須要提到赫茲。令人意外的是，赫茲先生比2位法國(guó)先賢晚出生了快100年。
時(shí)域分析一個(gè)小例子
賽思億常常做諧波分析，因?yàn)樗写?jí)社都會(huì)對(duì)諧波有一定的要求。簡(jiǎn)單地參考C42-A-095《江蘇藍(lán)德海上風(fēng)電作業(yè)平臺(tái)電力推進(jìn)系統(tǒng)電網(wǎng)電壓諧波分析》，可以看到，要分析正弦波的波形質(zhì)量，從時(shí)域看到的信息有限，只有從頻域分析每一個(gè)頻率點(diǎn)，才可以更為公正地評(píng)價(jià)波形的正弦性。
從圖表2可以看到，采用賽思億的變頻器，最大諧波源在于開(kāi)關(guān)頻率（2.5kHz）附近以及開(kāi)關(guān)頻率的2倍（5kHz）附近。
圖表 2 時(shí)域和頻域的轉(zhuǎn)換（上圖是時(shí)域波形，下圖是頻域波形）
從傅里葉級(jí)數(shù)到FFT
由于實(shí)際采集的時(shí)域時(shí)間總是有限的，任何一個(gè)周期時(shí)域波形，實(shí)戰(zhàn)中都會(huì)因?yàn)椴杉L(zhǎng)度的影響而在一定程度上呈現(xiàn)出非周期性，因此傅里葉級(jí)數(shù)僅具備理論上的意義，幾乎不具備實(shí)戰(zhàn)作用。
事實(shí)上，更實(shí)用一些的工具，是針對(duì)于非周期（實(shí)際是解決了有限時(shí)長(zhǎng)問(wèn)題）的時(shí)域波形進(jìn)行傅里葉變換，也叫做FT（Fourier Transform）。
然而FT還是不那么實(shí)用，因?yàn)閷?shí)際上現(xiàn)在的模擬量信號(hào)都已經(jīng)通過(guò)數(shù)字化處理進(jìn)行了采集，本質(zhì)上已經(jīng)不是連續(xù)信號(hào)了，而是采樣周期相同的離散信號(hào)。針對(duì)離散信號(hào)的傅里葉變換，稱(chēng)為離散傅里葉變換，也叫做DFT（Discrete Fourier Transform）。
DFT已經(jīng)實(shí)用了，雖然各種好，但是有一個(gè)缺點(diǎn)，就是計(jì)算量太大。數(shù)據(jù)長(zhǎng)度足夠大或者要求的頻率分隔足夠精細(xì)，導(dǎo)致了指數(shù)級(jí)增加的運(yùn)算量而變得不可行。這個(gè)時(shí)候，快速傅里葉變換出現(xiàn)了，這就是注明的FFT（Fast Fourier Transform），其實(shí)就是采用了類(lèi)似蝶形運(yùn)算等一系列偷雞的方法完成了時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換。
經(jīng)歷了FS→FT→DFT→FFT的過(guò)程，雖然大家現(xiàn)在做諧波分析都是用FFT，但是實(shí)際上其背后的本質(zhì)卻是傅里葉級(jí)數(shù)。
要理解實(shí)用的DFT或者FFT，本身就是一門(mén)非常深?yuàn)W的科學(xué)了，邵博士沒(méi)有精力更沒(méi)有能力展開(kāi)。但是無(wú)論如何，離散化之后，會(huì)出現(xiàn)所謂的“頻譜泄露”等問(wèn)題，這些問(wèn)題以后有機(jī)會(huì)再聊。
最后，賽思億實(shí)際做諧波分析的時(shí)候，都是用示波器進(jìn)行采集。為了讓有限的時(shí)長(zhǎng)盡量體現(xiàn)出周期性，一般賽思億要求示波器的采集周期為10周期。
線性時(shí)不變系統(tǒng)
線性時(shí)不變系統(tǒng)是一個(gè)很洗腦的概念。和傅里葉級(jí)數(shù)一樣，這個(gè)系統(tǒng)理論很完美，實(shí)際幾乎不存在。這個(gè)概念確實(shí)在“基本電路理論”、“自動(dòng)控制原理”和“信號(hào)與系統(tǒng)”幾門(mén)學(xué)科中被反復(fù)強(qiáng)調(diào)。
這里不對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行深入探討，簡(jiǎn)單地說(shuō)，用電阻、電感和電容等組成的系統(tǒng)就是線性時(shí)不變系統(tǒng)，二極管這種東西就不算。
一個(gè)典型的線性時(shí)不變系統(tǒng)的舉例及其分析
假設(shè)有如圖表3的一個(gè)電路。
圖表 3 一個(gè)典型的線性時(shí)不變電路
電阻是最有道德的、純粹的和脫離低級(jí)趣味的，因?yàn)樵谌魏螆?chǎng)合，他就是本色不改，就是用R來(lái)描述。但是電感和電容就不是這么看待這個(gè)世界的了。
表格 1 電阻、電感和電容
從這個(gè)角度上來(lái)說(shuō)，如果站在前面提到的s域，理解圖表3所描繪的系統(tǒng)函數(shù)，則有：
如果站在頻域，理解圖表3所描繪的頻域響應(yīng)，則有：
如果對(duì)此頻域響應(yīng)拆解，可以得到所謂的頻域幅度響應(yīng)和頻域相位響應(yīng)，即：
假設(shè)輸入vi的是頻率為ω的余弦函數(shù)，進(jìn)入到了這個(gè)G(jω)之后，輸出vo會(huì)有不同的幅值變化和相角變化（從上面公式來(lái)說(shuō)，這個(gè)變化本身和ω有關(guān)），但是輸出vo的頻率仍然不會(huì)變化，是ω。
前面提到，傅里葉級(jí)數(shù)認(rèn)為，所有的周期信號(hào)可以認(rèn)為是不同頻率的余弦函數(shù)之和表示。那么輸入信號(hào)vi只要是周期信號(hào)，必然可以變成大量不同頻率的余弦函數(shù)之和（頻率分別是0，ω，2ω，……，Nω，……），每一個(gè)頻率為Nω的輸入都能對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率為Nω的輸出，只不過(guò)相位都不一樣罷了，那么其輸出vo可以認(rèn)為是這些頻率為Nω的輸出的和。這個(gè)叫做線性系統(tǒng)的疊加原理。
上面的話可能看不清楚，這里舉一個(gè)算例。
假設(shè)輸入vi= cost + cos(3t)?？疾燧敵鰒o。
我們首先考察cost輸入圖表3所示的網(wǎng)絡(luò)會(huì)如何。再次頻域幅度響應(yīng)和頻域相位響應(yīng)，即：
顯然，此時(shí)ω = 1，那么：
幅值衰減了，相角滯后了。那么輸入cost對(duì)應(yīng)的輸出就是：
類(lèi)似地，當(dāng)ω = 3，那么：
那么輸入cos(3t)對(duì)應(yīng)的輸出就是：
所以最終的輸出vo是：
在這個(gè)計(jì)算過(guò)程中，我們完全不需要考慮輸出信號(hào)的頻率，而只要關(guān)心這個(gè)輸出信號(hào)的幅值和相角究竟啥狀態(tài)就行了。
波特圖
如果我們遍歷ω從0到+∞，可以得到針對(duì)每一個(gè)頻率ω的幅值-頻率響應(yīng)（簡(jiǎn)稱(chēng)“幅頻響應(yīng)”）和相角-頻率響應(yīng)（簡(jiǎn)稱(chēng)“相頻響應(yīng)”），則可以得到如圖表4所示的波特圖。需要說(shuō)明的是，波特圖的確比較友善又比較惡心地采用了dB作為縱坐標(biāo)，這個(gè)原因這里不做展開(kāi)。
圖表 4 波特圖
這個(gè)圖很神秘，但是的確展示了圖表3所代表的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。至少我們可以看到，輸出的幅值對(duì)頻率變化很敏感，頻率約高，則衰減越明顯。所以，就如上篇中3.3.2所說(shuō)，這個(gè)系統(tǒng)叫作“低通濾波器”，因?yàn)橹挥械皖l可以舒服地通過(guò)，而高頻輸入則會(huì)得到很大的衰減。
例如上面那個(gè)算例ω = 1和ω = 3的輸入和輸出，ω = 3被更明顯地削弱了。
濾波器設(shè)計(jì)
這里就要提一下濾波器設(shè)計(jì)了。圖表4的圖告訴我們：
在ω = 1的頻率，幅值衰減了0.707倍，我們也叫做濾波器的“剪切頻率ωc”；
在ω = 0.1（0.1ωc）的頻率，幅值衰減了0.995倍，可以基本認(rèn)為沒(méi)有衰減；
在ω = 10（10ωc）的頻率，幅值衰減到了9.95%，可以基本認(rèn)為衰減完了。
所以可以認(rèn)為，當(dāng)ω < 0.1時(shí)，輸出沒(méi)有明顯衰減；當(dāng)ω > 10時(shí)，輸出基本衰減廢了；0.1 < ω < 10時(shí)，輸出有衰減，但是還不至于消失。
這個(gè)顯著的頻率響應(yīng)很重要。如果我們需要保留的信號(hào)ω < 0.1，而需要滅除的信號(hào)ω > 10，這個(gè)濾波器無(wú)疑很合適。也就是需要滅除的信號(hào)頻率/有用的信號(hào) > 100。
這里要說(shuō)一下賽思億的變頻器，開(kāi)關(guān)頻率是需要滅除的信號(hào)，頻率一般是2.5kHz（諧波），而有用的信號(hào)一般是基波，頻率一般是50Hz，則需要滅除的信號(hào)頻率/有用的信號(hào) = 50，即便我們?cè)僭趺匆苿?dòng)這個(gè)濾波器剪切頻率，或者我們另基波分量衰減，或者我們必須容忍較大分量的諧波存在。
從0.1ωc過(guò)渡到10ωc，圖表4給出的幅值響應(yīng)隨著ω的增加衰減太平緩了。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們需要使用更高階的濾波器設(shè)計(jì)。
為了考察這個(gè)濾波器設(shè)計(jì)，賽思億通常由R、C和L組成二階正弦波濾波器，然后也大量使用波特圖考察濾波器設(shè)計(jì)的特性，一個(gè)典型的幅頻響應(yīng)參見(jiàn)圖表5。
圖表 5 典型的濾波器幅頻響應(yīng)
小 結(jié)
本篇和上篇蜻蜓點(diǎn)水一般寫(xiě)了一些關(guān)于拉普拉斯變換和傅里葉變換的一些理解，給出一些小結(jié)和感悟如下：
1、拉普拉斯變換引入了傳遞函數(shù)的概念，給出系統(tǒng)在特定輸入下輸出特定相應(yīng)的規(guī)律總結(jié)，把一大堆一階、二階、穩(wěn)定、不穩(wěn)定系統(tǒng)都用傳遞函數(shù)方式表達(dá)了出來(lái)；
2、傅里葉變換引入了頻域的概念，將一大堆雜亂無(wú)章的重復(fù)波形，用頻域上的XY軸輕易分解了出來(lái)；
3、線性時(shí)不變系統(tǒng)和波特圖利用拉普拉斯變化和傅里葉變化對(duì)電氣信號(hào)的理解，給了我們方便易用的系統(tǒng)分析工具，盡管拉普拉斯拒了傅里葉的論文，但是兩位老先生聯(lián)手給了電力系統(tǒng)、電氣信號(hào)的簡(jiǎn)潔而易用的描述方式，這些描述方式和衍生工具幫助我們理解并設(shè)計(jì)相應(yīng)系統(tǒng)；
4、在電力推進(jìn)系統(tǒng)中，如果出現(xiàn)詭異而不可捉摸的問(wèn)題，那一定是我們還沒(méi)理解系統(tǒng)，我們的電氣世界已經(jīng)被兩位老先生闡述的足夠清晰和簡(jiǎn)潔，人生的難題大部分是因?yàn)椴焕斫?，電氣世界也是，盡管大學(xué)的時(shí)候飽經(jīng)折磨，但還是感謝倆老頭，給所有的電氣人打開(kāi)了一雙眼睛，讓我們從另外的角度看待電氣世界，讓我們?cè)诿鎸?duì)多變而難以捉摸的電氣系統(tǒng)時(shí)，不再那么的無(wú)助。
提示：上文的觀點(diǎn)如果難以理解，建議配合相應(yīng)的專(zhuān)業(yè)書(shū)籍閱讀，你會(huì)在某些時(shí)刻和作者一樣在腦海中出現(xiàn)了一副3D眼鏡，幫助你理解電氣世界內(nèi)的信號(hào)和系統(tǒng)，副作用是在你看某些印象派名畫(huà)時(shí)，會(huì)給出不知所云“這幅畫(huà)左上方的這個(gè)高頻脈沖信號(hào)很突兀”，容易被專(zhuān)業(yè)人士追打……
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